Question

設(shè)a＞0函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)x₀≥1，f（x₁）≥1，且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）=x³-ax求導(dǎo)，因為函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以當x∈[1，+∞）時，f′（x）≥0，或f′（x）＜0恒成立，再借助二次函數(shù)的圖象判斷即可．
（2）可先設(shè)中間變量m=f（x₀），再借助（1）中判斷的函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上的單調(diào)性，判斷m=x₀，即可證明f（x₀）=x₀．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax，∴f′（x）=3x²-a，
又∵函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．∴當x∈[1，+∞）時，f′（x）≥0，或f′（x）＜0恒成立．
∵f′（x）=3x²-a，
∵f′（x）=3x²-a是開口向上的二次函數(shù)，∴f′（x）≤0不可能恒成立，
∴f′（x）≥0在1，+∞）恒成立，∴a≤3
又∵a＞0，∴0＜a≤3
（2）設(shè)f（m）=x₀，∵f（f（x₀））=x₀，∴f（f（x₀））=f（m），
∴f（x₀）=m，
由（1）知，f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴x₀=m，
∴f（x₀）=x₀

點評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及單調(diào)性的應(yīng)用，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題．