Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=2，a_n+1=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²+1，則a₁₂=（　　）

• A． 101
• B． 122
• C． 145
• D． 170

Answer 1

分析 a_n+1=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²+1＞0，可得$（\sqrt{{a}_{n+1}-1}）^{2}$=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²，$\sqrt{{a}_{n+1}-1}$-$\sqrt{{a}_{n}-1}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²+1＞0，
則$（\sqrt{{a}_{n+1}-1}）^{2}$=（${\sqrt{{a_n}-1}$+1）²，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}-1}$-$\sqrt{{a}_{n}-1}$=1，
∴數(shù)列$\{\sqrt{{a}_{n}-1}\}$是等差數(shù)列，公差為1．
∴$\sqrt{{a}_{n}-1}$=1=（n-1）=n，可得a_n=n²+1，
∴a₁₂=12²+1=145．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．