Question

（文科）已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，若橢圓上存在點P，滿足∠F₁PF₂=120°，則

a2-b2

b

的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（

  1

  2

  ，+∞）
• C、[

  3

  ，+∞）
• D、（1，

  3

  ]

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m+n=2a，在△PF₁F₂中，根據(jù)邊和角的值，由余弦定理可得：4c²=m²+n²+mn=（m+n）²-mn=4a²-mn，所以得到mn=4b2≤

(m+n)2

4

=a2，即：4b²≤a²，∴

a2-b2

b2

≥3，所以就能求出

a2-b2

b

的范圍了．

解答： 解：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，m+n=2a，|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=120°；
∴在△PF₁F₂中，根據(jù)余弦定理得：4c²=m²+n²-2mncos120°=m²+n²+mn=（m+n）²-mn=4a²-mn；
∴mn=4a²-4c²=4b²，∵mn≤

(m+n)2

4

=a2；
∴4b²≤a²，∴3b²≤a²-b²，∴

a2-b2

b2

≥3；
∴

a2-b2

b

≥

3

，∴

a2-b2

b

的取值范圍是[

3

，+∞)．
故選C．

點評：考查橢圓的定義，余弦定理，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，僅當a=b時取“=“．