Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q（0，$\sqrt{3}$），射線FQ與C交于點(diǎn)E，與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，且$\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EF}$，則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由橢圓的定義可知：$\frac{丨EF丨}{丨EP丨}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{丨PK丨}{丨EK丨}$=$\sqrt{3}$，即$\frac{丨OQ丨}{丨OF丨}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{p}{2}}$，則p=2，求得直線FP的方程，聯(lián)立即可求得E的橫坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離．

解答 解：故E作EK⊥準(zhǔn)線l，則丨EF丨=丨EK丨，由$\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EF}$，
則$\frac{丨EF丨}{丨EP丨}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{丨EK丨}{丨EP丨}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{丨PK丨}{丨EK丨}$=$\sqrt{3}$，
則tan∠AFO=$\sqrt{3}$，
即$\frac{丨OQ丨}{丨OF丨}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{p}{2}}$，則p=2，
拋物線方程C：y²=4x，直線FP的方程y=-$\sqrt{3}$（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-10x+3=0，
解得：x=$\frac{1}{3}$，或x=3，
則E點(diǎn)的橫坐標(biāo)$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離$\frac{1}{3}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的定義，考查相似三角形的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．