Question

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.

（1）求；

（2）若從中抽取一個(gè)公比為的等比數(shù)列，其中，且，.

①當(dāng)取最小值時(shí)，求的通項(xiàng)公式；

②若關(guān)于的不等式有解，試求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）①，②

【解析】

試題分析：

（1）解等差數(shù)列問題，主要從待定系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā).由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差d即可，（2）①利用等比數(shù)列每一項(xiàng)都為等差數(shù)列中項(xiàng)這一限制條件，對(duì)公比逐步進(jìn)行驗(yàn)證、取舍，直到滿足.因?yàn)檠芯康氖?/span>取最小值時(shí)的通項(xiàng)公式，因此可從第二項(xiàng)開始進(jìn)行驗(yàn)證，首先滿足的就是所求的公比，②由①易得與的函數(shù)關(guān)系，并由為正整數(shù)初步限制取值范圍，當(dāng)且時(shí)適合題意，當(dāng)且時(shí)，不合題意.再由不等式有解，歸納猜想并證明取值范圍為本題難點(diǎn)是如何說明當(dāng)時(shí)不等式即無解，可借助研究數(shù)列單調(diào)性的方法進(jìn)行說明.

試題解析：

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得， 2分

所以. 4分

（2）因?yàn)?/span>數(shù)列是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列的公比，

若，則由，得，此時(shí)，由，

解得，所以，同理； 6分

若，則由，得，此時(shí)，

另一方面，，所以，即， 8分

所以對(duì)任何正整數(shù)，是數(shù)列的第項(xiàng)．所以最小的公比．

所以． 10分

（3）因?yàn)?/span>，得，而，[來源:]

所以當(dāng)且時(shí)，所有的均為正整數(shù)，適合題意；

當(dāng)且時(shí)，不全是正整數(shù)，不合題意.

而有解，所以有解，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，，時(shí)，都是的解，適合題意； 12分

下證當(dāng)時(shí)，無解, 設(shè)，

則，

因?yàn)?/span>，所以在上遞減，

又因?yàn)?/span>，所以恒成立，所以，所以恒成立，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，無解. 15分

綜上所述，的取值為 16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合應(yīng)用，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，數(shù)列單調(diào)性.