Question

【題目】已知橢圓，直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.證明：

（）直線的斜率與的斜率的乘積為定值.

（）若過點(diǎn)，延長線段與交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，則直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用點(diǎn)差法即可證明；

（2）根據(jù)題意M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，利用坐標(biāo)關(guān)系代換，構(gòu)造齊次式解，再根據(jù)（1）的結(jié)論證得結(jié)論.

（1）設(shè)，直線不經(jīng)過原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行，

所以 ，

直線的斜率，直線的斜率，

，在橢圓上，兩式相減：

，兩邊同時(shí)除以

得，所以，

即

所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（2）四邊形為平行四邊形時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)與互相平分，

設(shè)，則，且在橢圓上，，即

由（1）得，，

所以，

整理得：，又因?yàn)?/span>

所以，即，兩邊平方得：

， ，

所以兩邊同時(shí)除以，

，

所以，

，

所以