Question

已知函數(shù)f（x）定義域為R且同時滿足：①f（x）圖象左移1個單位后所得函數(shù)為偶函數(shù)；②對于任意大于1的不等實數(shù)a，b，總有成立．
（1）f（x）的圖象是否有對稱軸？如果有，寫出對稱軸方程．并說明在區(qū)間（-∞，1）上f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)，如果f（0）=1，判斷g（x）=0是否有負實根并說明理由；
（3）如果x₁＞0，x₂＜0且x₁+x₂+2＜0，比較f（-x₁）與f（-x₂）的大小并簡述理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件（1）得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，有條件（2）可得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而可判斷f（x）在（-∞，1）上單調(diào)性；
（2）若g（x）=0有負根x，由 g（x）=+=0可求得f（x）=x-2，再借助f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，可得出矛盾；
（3）點（-x₁，f（-x₁））與點（2+x₁，f（2+x₁））為f（x）上關(guān)于直線x=1對稱的兩點，結(jié)合x₁+x₂+2＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即可比較f（-x₁）與f（-x₂）的大小．
解答：（1）解：由條件（1）得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱…（2分）
有條件（2）得a＞b＞1時，f（a）＞f（b）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增…（4分）
又∵f（x）的圖象關(guān)于直線 x=1對稱，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減…（5分）
（2）若g（x）=0有負根x，則  g（x）=+=0，
∴f（x）=x-2．
∵f（0）=1，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＞1，
∴x-2＞1，即x＞3與x＜0矛盾，故g（x）=0無負實根…（10分）
（3）解：點（-x₁，f（-x₁））與點（2+x₁，f（2+x₁））為f（x）上關(guān)于直線x=1對稱的兩點，
∵x₁+x₂+2＜0，
∴2＜x₁+2＜-x₂，又f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（-x₂）＞f（2+x₁）=f（-x₁）…（16分）
點評：本題考查函數(shù)的圖象，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，難點在于（3）的分析與轉(zhuǎn)化，比較抽象，屬于難題．