Question

已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且短軸長(zhǎng)為4，離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

16

5

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)，根據(jù)已知條件列方程組，解出即可，注意焦點(diǎn)位置不確定；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消y得關(guān)于x的一元二次方程，用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得關(guān)于m的方程，解出即可；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a（a＞0），短半軸長(zhǎng)為b（b＞0），
則2b=4①，

a2-b2

a

=

3

2

②．                                              
聯(lián)立①②，解得a=4，b=2．                                                      
因?yàn)闄E圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，
所以橢圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1．        
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組

y=x+m y2 16 + x2 4 =1

，消去y，
得5x²+2mx+m²-16=0，
由題意，得△=（2m）²-20（m²-16）＞0，
且x1+x2=-

2m

5

，x1x2=

m2-16

5

，
因?yàn)?span id="979zmot" class="MathJye">|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+1

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

16

5

2

，
所以(-

2m

5

)2-

4(m2-16)

5

=(

16

5

)2，解得m=±2，
驗(yàn)證知△＞0成立，
所以直線l的方程為x-y+2=0或x-y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查解析幾何中常見(jiàn)公式如：弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．