【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1),其中a>0,記f(x)的最大值為A.
(1)求f′(x);
(2)求A;
(3)證明:|f′(x)|≤2A.
【答案】
(1)
解:f′(x)=﹣2asin2x﹣(a﹣1)sinx
(2)
當(dāng)a≥1時(shí),|f(x)|=|acos2x+(a﹣1)(cosx+1)|≤a+2(a﹣1)=3a﹣2=f(0),因此A=3a﹣2.
當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)等價(jià)為f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1)=2acos2x+(a﹣1)cosx﹣1,
令g(t)=2at2+(a﹣1)t﹣1,
則A是|g(t)|在[﹣1,1]上的最大值,g(﹣1)=a,g(1)=3a﹣2,
且當(dāng)t= 時(shí),g(t)取得極小值,極小值為g( )=﹣ ﹣1=﹣ ,
令﹣1< <1,得a< (舍)或a> .因此A=3a﹣2
g(﹣1)=a,g(1)=3a+2,a<3a+2,∴t=1時(shí),g(t)取得最大值,g(1)=3a+2,即f(x)的最大值為3a+2.
綜上可得:t=1時(shí),g(t)取得最大值,g(1)=3a+2,即f(x)的最大值為3a+2.
∴A=3a+2.
①當(dāng)0<a≤ 時(shí),g(t)在(﹣1,1)內(nèi)無極值點(diǎn),|g(﹣1)|=a,|g(1)|=2﹣3a,|g(﹣1)|<|g(1)|,
∴A=2﹣3a,
②當(dāng) <a<1時(shí),由g(﹣1)﹣g(1)=2(1﹣a)>0,得g(﹣1)>g(1)>g( ),
又|g( )﹣g(﹣1)|= >0,
∴A=|g( )|= ,
綜上,A= .
(3)
證明:由(1)可得:|f′(x)|=|﹣2asin2x﹣(a﹣1)sinx|≤2a+|a﹣1|,
當(dāng)0<a≤ 時(shí),|f′(x)|≤1+a≤2﹣4a<2(2﹣3a)=2A,
當(dāng) <a<1時(shí),A= = + + ≥1,
∴|f′(x)|≤1+a≤2A,
當(dāng)a≥1時(shí),|f′(x)|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A,
綜上:|f′(x)|≤2A.
【解析】(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可求f′(x);
(2)討論a的取值,利用分類討論的數(shù)學(xué),結(jié)合換元法,以及一元二次函數(shù)的最值的性質(zhì)進(jìn)行求解;
(3)由(1),結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可證明:|f′(x)|≤2A.
本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)最值的應(yīng)用,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,以及換元法,轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.
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【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
性別 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
附:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn),為拋物線上一點(diǎn),若,求的值.
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A. 年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變
B. 年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差變大
C. 年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變
D. 年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)一定變大,方差可能不變
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