【題目】設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為( )
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
先設(shè)S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再討論S中含有的的個(gè)數(shù),若S的表達(dá)式中有0個(gè)a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達(dá)式中有2個(gè)a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達(dá)式中有4個(gè)a·b,則S=4a·b,記為S3.再作差比較的大小,即得Smin=S3=4a·b.最后利用向量的數(shù)量積公式求a與b的夾角.
設(shè)S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表達(dá)式中有0個(gè)a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達(dá)式中有2個(gè)a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達(dá)式中有4個(gè)a·b,則S=4a·b,記為S3.
又|b|=2|a|,
所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3<S2<S1,故Smin=S3=4a·b.設(shè)a,b的夾角為θ,則Smin=4a·b=8|a|2cos θ=4|a|2,即cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=.
故答案為:B
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ,直線與拋物線交于, 兩點(diǎn).點(diǎn) 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),直線, 分別與軸交于, .
(I)若的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(II)當(dāng)直線時(shí),求線段的長;
(III)若與面積相等,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的長軸長為4,焦距為2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)過動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長QM交C于點(diǎn)B.
①設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k′,證明 為定值;
②求直線AB的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),若 =3 ,則直線l的方程為( )
A.x﹣2y﹣1=0
B.2x﹣y﹣2=0
C.x﹣ y﹣1=0
D. x﹣y﹣ =0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=a(x﹣2)ex+lnx+ 在(0,2)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則a的取值范圍為( )
A.(﹣∞,﹣ )
B.(﹣ , )∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣ )
D.(﹣∞,﹣ )∪(﹣﹣ ,﹣ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工藝廠有銅絲5萬米,鐵絲9萬米,準(zhǔn)備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售,已知一只花籃需要用銅絲200米,鐵絲300米;編制一只花盆需要100米,鐵絲300米,設(shè)該廠用所有原來編制個(gè)花籃, 個(gè)花盆.
(Ⅰ)列出滿足的關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)若出售一個(gè)花籃可獲利300元,出售一個(gè)花盤可獲利200元,那么怎樣安排花籃與花盆的編制個(gè)數(shù),可使得所得利潤最大,最大利潤是多少?
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