分析 (1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x),解不等式f′(x)>0得出增區(qū)間,解不等式f′(x)<0得出減區(qū)間;
(2)求F′(x),討論F′(x)=0的解的情況及F(x)的單調(diào)性得出結(jié)論;
(3)構(gòu)造函數(shù)設(shè)g(x)=ex-lnx,x>0,則即證g(x)>2,只要證g(x)min>2,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求得g(x)的最小值即得,不等式即可得證.
解答 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞)
求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=1+lnx
令f′(x)=1+lnx=0,可得x=$\frac{1}{e}$
∴0<x<$\frac{1}{e}$時(shí),f′(x)<0,x>$\frac{1}{e}$時(shí),f′(x)>0
∴函數(shù)f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上單調(diào)遞減,在($\frac{1}{e}$,+∞)單調(diào)遞增,
(2)∴F(x)=ax2+f′(x)(x>0),
∴F′(x)=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$(x>0).
當(dāng)a≥0時(shí),F(xiàn)′(x)>0恒成立,∴F(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
∴F(x)在(0,+∞)上無極值.
當(dāng)a<0時(shí),令F′(x)=0得x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$或x=-$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$(舍).
∴當(dāng)0<x<$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時(shí),F(xiàn)′(x)>0,當(dāng)x>$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時(shí),F(xiàn)′(x)<0,
∴F(x)在(0,$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$)上單調(diào)遞增,在($\sqrt{-\frac{1}{2a}}$,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時(shí),F(xiàn)(x)取得極大值F($\sqrt{-\frac{1}{2a}}$)=$\frac{1}{2}$+ln$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$,無極小值,
綜上:當(dāng)a≥0時(shí),F(xiàn)(x)無極值,
當(dāng)a<0時(shí),F(xiàn)(x)有極大值$\frac{1}{2}$+ln$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$,無極小值,
(Ⅲ)證明:設(shè)g(x)=ex-lnx,x>0,
則即證g(x)>2,
只要證g(x)min>2,
∵g′(x)=ex-$\frac{1}{x}$,
設(shè)h(x)=ex-$\frac{1}{x}$,
∴h′(x)=ex+$\frac{1}{{x}^{2}}$>0恒成立,
∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∵h(yuǎn)(0.5)=$\sqrt{e}$-2<1.7-2<0,h(1)=e-1>0,
∴方程h(x)=0有唯一的實(shí)根x=t,且t∈(0.5,1)
∵當(dāng)t∈(0.5,1)時(shí),h(x)<h(t)=0,
當(dāng)t∈(t,+∞)時(shí),h(x)>h(t)=0,
∴當(dāng)x=t時(shí),g(x)min=et-lnt,
∵h(yuǎn)(t)=0,即et=$\frac{1}{t}$,
則t=e-t,
∴g(x)min=$\frac{1}{t}$-ln=e-t=$\frac{1}{t}$+t>2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$=2,
∴ex>f′(x)+1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,分類討論思想,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 有最大值,無最小值 | B. | 無最大值,有最小值 | ||
C. | 有最大值且有最小值 | D. | 無最大值且無最小值 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ξ=4 | B. | ξ=5 | C. | ξ=6 | D. | ξ≤5 |
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