分析 (Ⅰ)兩圓的圓心距d=|OM|=$\frac{1}{2}$|PA1|=R-$\frac{1}{2}$|PA|,得到點P的軌跡是以A,A1為焦點,以4為長軸的橢圓,即可證明:|PA1|+|PA|為定值,并求出點P的軌跡方程C1;
(Ⅱ)若直線PA與曲線C1的另一交點為Q,求出面積,換元,即可求△POQ面積的最大值.
解答 (Ⅰ)證明:設(shè)點P(x,y),記線段PA的中點為M,則
兩圓的圓心距d=|OM|=$\frac{1}{2}$|PA1|=R-$\frac{1}{2}$|PA|,
所以,|PA1|+|PA|=4>2$\sqrt{3}$,
故點P的軌跡是以A,A1為焦點,以4為長軸的橢圓,
所以,點P的軌跡方程C1為:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1. …(5分)
(Ⅱ)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為:x=my+$\sqrt{3}$,…(6分)
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1消去x,整理得:(m2+4)y2+2$\sqrt{3}$my-1=0,
則y1+y2=-$\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$,y1y2=-$\frac{1}{{m}^{2}+4}$,…(8分)
△POQ面積S=$\frac{1}{2}$|OA||y1-y2|=2$\sqrt{3}$$•\sqrt{-\frac{3}{({m}^{2}+4)^{2}}+\frac{1}{{m}^{2}+4}}$…(10分)
令t=$\frac{1}{{m}^{2}+4}$(0$<t≤\frac{1}{4}$,則S=2$\sqrt{3}•\sqrt{-3{t}^{2}+t}$≤1(當且僅當t=$\frac{1}{6}$時取等號)
所以,△POQ面積的最大值1. …(12分)
點評 本題考查橢圓的定義,考查圓與圓的位置關(guān)系,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.
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A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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A. | k=1且$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrowrnpzxf1$同向 | B. | k=1且$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrowb5b5nh5$反向 | C. | k=-1且$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrowrdnrbht$同向 | D. | k=-1且$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrownzjn57p$反向 |
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A. | (8,0),(-7,0). | B. | (-8,0),(-7,0) | C. | (8,0),(7,0). | D. | (-8,0),(7,0) |
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