Question

【題目】已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意知方程有兩根，構(gòu)造函數(shù)，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，且兩函數(shù)的圖象均過(guò)點(diǎn)，考查直線與曲線相切于點(diǎn)這個(gè)臨界位置，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

由，可得，構(gòu)造函數(shù)，

則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，

，令，得，列表如下：

		極大值

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，且當(dāng)時(shí)，.

易知，直線與函數(shù)的圖象均過(guò)點(diǎn)，如下圖所示：

考慮直線與曲線相切于點(diǎn)這個(gè)臨界位置，此時(shí).

即當(dāng)時(shí)，直線與曲線相切于點(diǎn)，此時(shí)，直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

由圖象可知，當(dāng)且時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

故答案為：.