【題目】已知 是平面內(nèi)凸三十五邊形的35個頂點,且中任何兩點之間的距離不小于 . 證明:從這35個點中可以選出五個點,使得這五個點中任意兩點之間的距離不小于3.

【答案】見解析

【解析】

先證明一個引理

引理 設(shè) 35個點中的任意一點.則在余下的34個點中,至多六個點與點的距離小于3.

證明 用反證法.

如圖,假設(shè)有7個點(不妨設(shè)為)與點的距離小于3.

由題設(shè)知.

這六個角中至少有一個角不大于(不妨設(shè)).

設(shè),.則.

根據(jù)對稱性不妨設(shè).

由于,因此,

在區(qū)間)上為增函數(shù).

.

從而,與條件矛盾.

回到原題.

根據(jù)引理,從點出發(fā)的34條線段中至多有6條線段的長度小于3,即至少有28條線段的長度不小于3.不妨設(shè)線段的長度不小于3.

再考慮從點出發(fā)的27條線段.同理,至少有21條線段的長度不小于3.不妨設(shè)線段的長度不小于3.

再考慮從點出發(fā)的20條線段.同理,至少有14條線段的長度不小于3.不妨設(shè)線段的長度不小于3.

再考慮從點出發(fā)的13條線段.同理,至少有7條線段的長度不小于3.不妨設(shè)線段的長度不小于3.

這樣得到五個點、、、 ,其中任意兩點之間的距離不小于3.

練習(xí)冊系列答案
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A. 周期為 B. 關(guān)于點對稱

C. 單調(diào)遞增 D. 單調(diào)遞減

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1)請完成列聯(lián)表;并判斷是否有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”;

分?jǐn)?shù)不少于

分?jǐn)?shù)不足

合計

線上學(xué)習(xí)時間不少于小時

線上學(xué)習(xí)時間不足小時

合計

2)在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不足于分的學(xué)生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學(xué)習(xí)時間不少于小時和線上學(xué)習(xí)時間不足小時的學(xué)生共名,若在這名學(xué)生中隨機抽取人,求這人每周線上學(xué)習(xí)時間都不足小時的概率.(臨界值表僅供參考)

(參考公式,其中

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【題目】拿破侖為人好學(xué),是法蘭西科學(xué)院院士,他對數(shù)學(xué)方面很感興趣,在行軍打仗的空閑時間,經(jīng)常研究平面幾何。他提出了著名的拿破侖定理:以三角形各邊為邊分別向外(內(nèi))側(cè)作等邊三角形,則它們的中心構(gòu)成一個等邊三角形。如圖所示,以等邊的三條邊為邊,向外作個正三角形,取它們的中心,順次連接,得到,圖中陰影部分為的公共部分。若往中投擲一點,則該點落在陰影部分內(nèi)的概率為( )

A. B. C. D.

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(1)求證:平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值。

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1)求的值;

2)填寫下面列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?

文科生

理科生

合計

獲獎

6

不獲獎

合計

400

3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:,其中.

.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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