Question

已知函數f(x)=lg(x+

a

x+1

-1)，其中a是大于零的常數．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）當a∈（1，4）時，求函數f（x）的最小值；
（3）若?x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，試確定實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）、函數f（x）的定義域要求）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，解這個分式不等式時，因為含有參數a，所以要分類討論．
（2）、令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，當a∈（1，4）時，由函數f（x）的定義域可知x+1＞0，從而利用均值不等式求出函數f（x）的最小值．
（3）、由題設條件可知，x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，能推導出a＞（2-x）（x+1）恒成立，從而推導出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，
因為a＞0，故當a＞1時，定義域為（-1，+∞）；
當a=1時，定義域為（-1，0）∪（0，+∞）；
當0＜a＜1時，定義域為(-1，-

1-a

)∪(

1-a

，+∞)．
（2）令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，
當a∈（1，4）時，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2≥2

a

-2，
當且僅當x+1=

a

x+1

即x=

a

-1時等號成立．
故f（x）的最小值為lg(2

a

-2)．
（3）?x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，又x∈[0，+∞），
則a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞2．

點評：本題是對數函數的綜合題，難度較大，在解第（1）題時要注意對參數a進行妥類討論，解第（2）題時要注意均值不等式的合理運用，解第（3）題時要進行合理轉化．