【題目】如圖,多面體中,面為矩形,,且.
(1)求證:平面;
(2)求與所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)要證平面,只需證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線、即可;(2)要求與所成的角,即求與所成的角,解三角形可求與所成角的余弦值;(3)過(guò)作于又過(guò)作于,連接,說(shuō)明為二面角的平面角,解三角形可求二面角的余弦值.
試題解析:(1)∵是矩形,∴
又,則
, ∴平面
(2)矩形,∴,即,
∴要求與所成的角,即求與所成的角.
在中,由(1)知面,
∴中,,
∴是在面內(nèi)的射影,且,
∴,
,
從而與的成的角的余弦為;
(3)∵中,且,
∴面,
∴面面,為面與面的交線,
∴過(guò)作于,∴面,
又過(guò)作于,連接,從而得:,
∴為二面角的平面角.
在矩形中,對(duì)角線,
∴在中,,
由(2)知在中,,
而中,,且,∴,
∴為等腰直角三角形且為直角,
∴,
∴,
所以所求的二面角的余弦為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率,且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng),以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T,若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三個(gè)班共有學(xué)生100人,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過(guò)分層抽樣獲取了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí)).
班 | 6 | 7 | ||
班 | 6 | 7 | 8 | |
班 | 5 | 6 | 7 | 8 |
(1)試估計(jì)班學(xué)生人數(shù);
(2)從班和班抽出來(lái)的學(xué)生中各選一名,記班選出的學(xué)生為甲,班選出的學(xué)生為乙,求甲的鍛煉時(shí)間大于乙的鍛煉時(shí)間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高一(1)班有男同學(xué)45名,女同學(xué)15名,老師按照分層抽樣的方法抽取4人組建了一個(gè)課外興趣小組.
(I)求課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù);
(II)經(jīng)過(guò)一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論,這個(gè)興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn),方法是從小組里選出一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn),該同學(xué)做完后,再?gòu)男〗M內(nèi)剩下的同學(xué)中選出一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn),求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率;
(III)在(II)的條件下,第一次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)A得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為38,40,41,42,44,第二次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)B得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為39,40,40,42,44,請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有兩個(gè)不透明的箱子,每個(gè)箱子都裝有4個(gè)完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.
(1)甲從其中一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球,乙從另一個(gè)箱子摸出一個(gè)球,誰(shuí)摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰(shuí)就獲勝(若數(shù)字相同則為平局),求甲獲勝的概率;
(2)摸球方法與(1)同,若規(guī)定:兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝,所標(biāo)數(shù)字不相同則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=(2-2m)x-f(x).
① 若函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
② 求函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為,且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連結(jié),交橢圓于點(diǎn),證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)直線的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0).
(1) 求向量b+c的模的最大值;
(2) 若α=,且a⊥(b+c),求cos β的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏,將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí),隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖.
(1)若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí),根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績(jī)“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)?
(2)若參賽選手共6萬(wàn)人,用頻率估計(jì)概率,試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù);
(3)在優(yōu)秀等級(jí)的選手中取6名,依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,在良好等級(jí)的選手中取6名,依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為,在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為,求使得方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解的概率.
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