Question

【題目】已知.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）證明：當時，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）、（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證，即，設，則，. 再次構造函數(shù)，通過求導研究函數(shù)的性質可得在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，即可得證；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當時，且所以.當對恒成立時，不等式恒成立.構造函數(shù)，討論的單調性，即可得證.

試題解析：（Ⅰ）不等式，即不等式.

設，則，.

再次構造函數(shù)，則在時恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，所以，即成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，當時，且，

所以.

當對恒成立時，不等式恒成立.

不等式，即不等式對恒成立.

構造函數(shù)，則，令，

則，當時，，故在上單調遞增，

所以，故，即在上單調遞增，所以，

故恒成立.

故當時，，

即當時，不等式恒成立.