Question

4．如圖所示，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C，D的點(diǎn)，AE=3，圓O的直徑CE為9．
（1）求證：CD⊥面AED；
（2）求三棱錐D-ABE的體積．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AE，CD⊥AD即可得出CD⊥平面ADE；
（2）利用勾股定理計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)，代入體積公式V_D-ABE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•AB$計(jì)算即可．

解答 證明：（1）∵AE⊥⊙O，CD?⊙O，
∴AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD
又AD∩AE=A，AD?平面ADE，AE?平面ADE，
∴CD⊥面AED．
解：（2）連接AC，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則AC=$\sqrt{2}$a，
又AC²=CE²+AE²=90，∴a=3$\sqrt{5}$．
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=6，
∵CD⊥面AED，AB∥CD，∴AB⊥面ADE，
∴${V_{D-ABE}}={V_{B-ADE}}=\frac{1}{3}AB•{S_{△ADE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×6×3\sqrt{5}=9\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．