已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1（-2
2
，0），F(xiàn)2（2
2
，0），過(guò)點(diǎn)F1的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，若△NMF2的周長(zhǎng)為12，求S△MNF2的最大值．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：由題意知c=2
2
，4a=12，由此能得到橢圓的方程．設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠
π
2
時(shí)，求出△MNF2的面積，當(dāng)θ=
π
2
時(shí)，求出△MNF2的面積，比較得出△MNF2面積的最大值．
解答： 解：由題意知c=2
2
，4a=12，∴a=3，b=1
∴橢圓的方程為
x2
9
+y2=1，
如圖示：

設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠
π
2
時(shí)，不妨設(shè)θ∈（0，
π
2
）；
∴l(xiāng)的方程是y=tanθ（x+2
2
），
∴
y=tanθ(x+2
2
)
x2
9
+y2=1
，
消去x得：(
1+9tan2θ
tan2θ
)y2-
4
2
tanθ
y-1=0，
∴y1+y2=
4
2
tanθ
1+9tan2θ
，y1 y2=-
tan2θ
1+9tan2θ
，
∴|y1-y2|
=
(y1+y2)2-4y1y2

=
36tan2θ(1+tan2θ)
(1+9tan2θ)2

=
6tanθ•
1
cosθ
1+9tan2θ

=
6
1
sinθ
+8sinθ

≤
6
2
1
sinθ
•8sinθ

=
3
2
4
，
∴S△MNF2=
1
2
•2c•|y1-y2|=3，
當(dāng)θ=
π
2
時(shí)，|MN|=
2
3
，S△MNF2=
1
2
•2c•|y1-y2|=
4
2
3
，
綜上，△MNF2的最大值是3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義，計(jì)算三角形面積的應(yīng)用問(wèn)題，基本不等式的運(yùn)用問(wèn)題等綜上，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)方程x2+bx+c=0的系數(shù)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)．
（Ⅰ）求方程x2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根的概率；
（Ⅱ）求方程x2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)根的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若向量
a
、
b
滿足|
a
|=1，|
b
|=2，且
a
與
b
的夾角為
π
3
，則
a
•（
a
+
b
）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

現(xiàn)代城市大多是棋盤(pán)式布局（如北京道路幾乎都是東西和南北走向）．在這樣的城市中，我們說(shuō)的兩點(diǎn)間的距離往往不是指兩點(diǎn)間的直線距離（位移），而是實(shí)際路程（如圖1）．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，我們定義A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)間的“直角距離”為：D（AB）=|x1-x2|+|y1-y2|．

（1）已知A（-3，-3），B（3，2），求A、B兩點(diǎn)的距離D（AB）．
（2）求到定點(diǎn)M（1，2）的“直角距離”為2的點(diǎn)的軌跡方程．并寫(xiě)出所有滿足條件的“格點(diǎn)”的坐標(biāo)（格點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．
（3）求到兩定點(diǎn)F1、F2的“直角距離”和為定值2a（a＞0）的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，并在直角坐標(biāo)系如圖2內(nèi)作出該動(dòng)點(diǎn)的軌跡．
①F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），a=2；
②F1（-1，-1），F(xiàn)2（1，1），a=2；
③F1（-1，-1），F(xiàn)2（1，1），a=4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x1+x13=3，x2+
3x2
=3，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=x2，g（x）=-
1
2
x+5，設(shè)F（x）=f（g-1（x））-g-1（f（x）），則F（x）的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若a，b，c∈（0，+∞），證明：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
2
a+b
+
2
b+c
+
2
c+a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若10件產(chǎn)品中包含2件廢品，今在其中任取兩件，求：
（1）取出的兩件中至少有一件是廢品的概率；
（2）已知取出的兩件中有一件是廢品的條件下，另一件也是廢品的概率；
（3）已知兩件中有一件不是廢品的條件下，另一件是廢品的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
a
2
x2+（a+b）x+c（a，b，c∈R）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），z=2a-b，則z的取值范圍是（　　）
A、（-∞，3]
B、（-∞，-3）
C、[-3，+∞）
D、（-3，+∞）

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