設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1,2,3,…,其中A、B為常數(shù).

(1)求A與B的值;

(2)證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

(3)證明:不等式>1對(duì)任何正整數(shù)m、n都成立.

答案:
解析:

  

  解得A=-20,B=-8.

  (2)證法1:由(1)得(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,①

  ∴(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28.②

 、冢俚(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20,③

  ∴(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④

 、埽鄣(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)·Sn+1-(5n+2)Sn=0.

  ∵an+1=Sn+1-Sn

  ∴(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.

  又∵5n+2≠0,

  ∴an+3-2an+2+an+1=0,

  即an+3-an+2=an+2-an+1,n≥1.

  又a3-a2=a2-a1=5,

  ∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

  證法2:由已知,S1=a1=1,

  又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8≠0.

  ∴數(shù)列{Sn}是唯一確定的,因而數(shù)列{an}是唯一確定的.設(shè)bn=5n-4,

  


提示:

主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)、不等式的證明方法,考查思維能力和運(yùn)算能力.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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3
2
,Sn=2an+1-3

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(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
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3
2
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3
2
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1
2
,n∈N*
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(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
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+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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不等式組
x≥0
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所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,若Dn內(nèi)的整點(diǎn)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*
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(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對(duì)一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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S4
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