Question

已知三棱錐A-BCD的各條棱都相等，M、N分別為BC、AD的中點，求異面直線MN與BD所成的角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：

分析：根據題意：畫出幾何圖形，在三棱錐A-BCD中，要求異面直線MN與BD所成的角，可以通過在平面BCD中作CD的中點E，連接ME得到ME∥BD，連接NE，即通過做平行線把空間問題平面化，然后解三角形進一步求出∠NME的大小，即求異面直線MN與BD所成的角
                                          

解答： 解：
在平面BCD中作CD的中點E，連接ME，得到ME∥BD，連接NE、MD、MA
設三棱錐A-BCD的各條棱長為a
∵M為BC的中點、N為AD的中點
∴△AMD為等腰三角形 MN⊥AD 
根據題意得到：ND=

a

2

  MD=

3

2

a
∴MN=

2

2

a
∵M、N分別為BC、AD的中點、E為CD的中點
∴NE=ME=

1

2

a
在△MEN中，ME²+NE²=MN²
∴∠NME=45°
即異面直線MN與BD所成的角為45°


故異面直線MN與BD所成的角為45°

點評：本題通過連接中點轉化為平行線，把空間問題平面化，進一步利用解三角形知識求的結果