Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x+ ），
（1）判斷并證明函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)y=f（x）在R上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（a4x）+f（2x+1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ln（x+ ）為奇函數(shù)．

要使函數(shù)有意義，則 ，

∵ ，

∴ 的解集為R，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，

又 ，

∴函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)

（2）解：設(shè)x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，

則 ，

∵0≤x1＜x2，

∴ ，

∴ ，

即 ，

∴f（x1）＜f（x2）．

∴函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，

又f（x）為奇函數(shù)，

∴函數(shù)y=f（x）在R上為增函數(shù)

（3）解：不等式f（a4x）+f（2x+1）＞0等價(jià)于f（a4x）＞﹣f（2x+1）．

∵f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（a4x）＞f（﹣2x﹣1）．

函數(shù)y=f（x）在R上為增函數(shù)，

∴原不等式等價(jià)于a4x＞﹣2x﹣1，

即 在區(qū)間[1，2]上恒成立，

只需 ．

令 ，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知， 在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)．

∴當(dāng)x=2時(shí)， ．

即 ．

【解析】（1）求出函數(shù)的定義域，然后結(jié)合f（﹣x）=﹣f（x）可得函數(shù)的奇偶性；（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）把不等式f（a4x）+f（2x+1）＞0轉(zhuǎn)化為f（a4x）＞﹣f（2x+1），結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)得到 ，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得 在區(qū)間[1，2]上的最大值，則答案可求．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇即可以解答此題．