19．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A1，A2為其左、右頂點，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸進線在第一象限的交點為M，且∠MA1A2=45°，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

分析 先根據(jù)條件得到圓的方程以及漸近線方程，聯(lián)立求出點M的坐標，結合tan∠MA1A2=$\frac{2a}$=tan45°求出a，b之間的關系，進而求出離心率即可．

解答 解：由題得以F1F2為直徑的圓的圓心是（0，0），半徑為：c；
故圓的標準方程為：x2+y2=c2；
又雙曲線的其中一條漸近線方程為：y=$\frac{a}$x
聯(lián)立可得M（a，b）．
故MA2垂直于A1A2；
所以tan∠MA1A2=$\frac{2a}$=tan45°；
所以b=2a，c=$\sqrt{5}$a．
故雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．
故答案為$\sqrt{5}$

點評 本題主要考察雙曲線的簡單性質．解決本題得關鍵在于根據(jù)條件得到圓的方程以及漸近線方程，聯(lián)立求出點M的坐標，結合tan∠MA1A2=$\frac{2a}$=tan45°求出a，b之間的關系．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．已知橢圓x2+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1），其左、右焦點分別為F1、F2，|F1F2|=2c．若此橢圓上存在點P，使P到直線x=$\frac{1}{c}$的距離是|PF1|與|PF2|的等差中項，則b的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．在△ABC中，D為BC邊上一點，AD=BD，AC=4，BC=5．
（1）若∠C=60°，求△ABC外接圓半徑R的值；
（2）設∠CAB-∠B=θ，若$tanθ=\frac{{\sqrt{15}}}{7}$，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．已知復數(shù)z的實部和虛部相等，且z（2+i）=3-bi（b∈R），則|z|=（　�。�
A．3$\sqrt{2}$B．2$\sqrt{2}$C．3D．2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．如圖1，菱形ABCD的邊長為12，∠BAD=60°，AC與BD交于O點．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=6$\sqrt{2}$．

（ I）求證：平面ODM⊥平面ABC；
（ II）求二面角M-AD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知$\frac{1}{2}$≤m≤3，函數(shù)f（x）=ln（x+2）+$\frac{m}{2}{x^2}$-2．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若$?m∈[{\frac{1}{2}，3}]$，對任意的x1，x2∈[0，2]（x1≠x2），不等式|f（x1）-f（x2）|＜t|$\frac{1}{{{x_1}+2}}-\frac{1}{{{x_2}+2}}$|恒成立，求t的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

11．下列命題中，正確的命題序號是①③④．
①已知a∈R，兩直線l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，則“a=-1”是“l(fā)1∥l2”的充分條件；
②命題p：“?x≥0，2x＞x2”的否定是“?x0≥0，2x0＜x02”；
③“sinα=$\frac{1}{2}$”是“α=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z”的必要條件；
④已知a＞0，b＞0，則“ab＞1”的充要條件是“a＞$\frac{1}$”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．已知（ax+1）5的展開式中各項系數(shù)和為243，則二項式${（{\frac{3x}{a}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^5}$的展開式中含x項的系數(shù)為-$\frac{45}{2}$．（用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．如圖是半徑分別為1，2，3的三個同心圓，現(xiàn)隨機向最大圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入圖中陰影部分的概率為$\frac{1}{3}$．

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