【題目】已知點A,B的坐標分別是(,0),(,0),動點M(x,y)滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3,記M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)直線y=kx+m與曲線E相交于P,Q兩點,若曲線E上存在點R,使得四邊形OPRQ為平行四邊形(其中O為坐標原點),求m的取值范圍.
【答案】(1),(y≠0);(2)(﹣∞,]∪[,+∞).
【解析】
(1)根據(jù)題意得kAMkBM3,(y≠0),化簡可得曲線E的方程.
(2))設P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立直線與曲線E的方程,得關于x的一元二次方程,結(jié)合韋達定理得x1+x2,y1+y2,△>0①,根據(jù)題意得PQ的中點也是OR的中點,得R點的坐標,再代入曲線E的方程,得2m2=k2+3②,將②代入①得m的取值范圍.
解:(1)kAMkBM3,(y≠0)
化簡得曲線E的方程:.(y≠0)
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2)
聯(lián)立,得(3+k2)x2+2kmx+m2﹣6=0,
x1+x2,y1+y2=k(x1+x2)+2m,
△=(2km)2﹣4×(3+k2)(m2﹣6)=﹣12m2+24k2+72>0,即﹣m2+2k2+6>0,①
若四邊形OPRQ為平行四邊形,則PQ的中點也是OR的中點,
所以R點的坐標為(,),
又點R在曲線E上得,化簡得2m2=k2+3②
將②代入①得,m2>0,所以m≠0,由②得2m2≥3,所以m或m
所以m的取值范圍為(﹣∞,]∪[,+∞).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線的參數(shù)方程與直線的普通方程;
(Ⅱ)設點為曲線上的動點,點和點為直線上的點,且.求面積的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,長軸長為4,且過點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過的直線l交橢圓C于兩點,過A作x軸的垂線交橢圓C與另一點Q(Q不與重合).設的外心為G,求證為定值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面,正方形邊長為2,是的中點.
(1)求證:平面;
(2)求證:直線與平面所成角的正弦值為,求的長度;
(3)若,線段上是否存在一點,使平面,若存在求的長度,若不存在則說明.
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【題目】已知命題的展開式中,僅有第7項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項為495;命題隨機變量服從正態(tài)分布,且,則.現(xiàn)給出四個命題:①,②,③,④,其中真命題的是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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【題目】如圖,在正方體中,P,Q,M,N,H,R是各條棱的中點.
①直線平面;②;③P,Q,H,R四點共面;④平面.其中正確的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】2020年是我國垃圾分類逐步凸顯效果關鍵的一年.在國家高度重視,重拳出擊的前提下,高強度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國生活垃圾分類走入世界前列所需的時間,打好垃圾分類這場“持久戰(zhàn)”,“全民戰(zhàn)”.某市做了一項調(diào)查,在一所城市中學和一所縣城中學隨機各抽取15名學生,對垃圾分類知識進行問答,滿分為100分,他們所得成績?nèi)缦拢?/span>
城市中學學生成績分別為:73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85
縣城中學學生成績分別為:60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72
(1)根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學學生成績的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩所中學學生成績的平均分及分散程度;(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可)
(2)記這30名學生成績80分以上為良好,80分以下為一般,完善表格,并判斷是否有99%的把握認為該城市中學和縣城中學的學生在了解垃圾分類知識上有差異?(結(jié)果保留三位小數(shù))
學生成績 | 良好 | 一般 | 合計 |
城市中學學生 | |||
縣城中學學生 | |||
合計 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知橢圓C:()的左、右焦點分別為、,離心率為,點P是橢圓C上的一個動點,且面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C與x軸交于A、B兩點,直線和與直線l:分別交于點M,N,試探究以為直徑的圓是否恒過定點,若是,求出所有定點的坐標:若否,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(不與左、右頂點重合),且的周長為6,點關于原點的對稱點為,直線交于點.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于另一點,且,求點的坐標.
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