Question

在平面直角坐標系中，已知點O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），D（-2cosα，-1），其中α∈(

π

2

，

3π

2

)
（1）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值；
（2）若f（α）=

OC

•

OD

-t²+2在定義域α∈(

π

2

，

3π

2

)有最小值-1，求t的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）結(jié)合平面向量的坐標表示，寫出

AC

，

BC

的坐標表示，然后，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，得到cosα+sinα=

2

3

，然后，結(jié)合二倍角公式進行求解；
（2）采用二次函數(shù)思想進行求解．

解答： 解：（1）根據(jù)已知，

AC

=（cosα-3，sinα）

BC

=（cosα，sinα-3）
∴

AC

•

BC

=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=-1
∴1-3（cosα+sinα）=-1
∴cosα+sinα=

2

3

平方得到cos²α+2cosαsinα+sin²α=1+2cosαsinα=

4

9

∴2cosαsinα=-

5

9

，
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=2cosαsinα=-

5

9

，
（2）f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2=2sin²α-tsinα-t²
=2（sinα-

t

4

）²-

9t2

8

，
設(shè)sinα=m，
∵α∈(

π

2

，

3π

2

)，
∴m∈（-1，1），
∴f（m）=2（m-

t

4

）²-

9t2

8

，
①當(dāng)

t

4

≤-1時，即t≤-4，此時，函數(shù)無最小值；
②當(dāng)

t

4

≥1時，即t≥4，此時，函數(shù)無最小值；
③當(dāng)-1＜

t

4

＜1時，即-4＜t＜4，此時，函數(shù)當(dāng)sinα=

t

4

時取得，為-

9t2

8

，
∴-

9t2

8

=-1，
∴t=±

2 2

3

，
同時

t

4

=±

2

6

∈（-1，1），
∴t=±

2 2

3

滿足題意．

點評：本題綜合考查了平面向量的坐標運算，二倍角公式，三角恒等變換等公式，屬于中檔題．