19.若$α∈(0,π),β∈(0,π),\frac{sin2α}{1+cos2α}=\frac{4}{3},cos(α+β)=\frac{5}{13}$,則sinβ=$\frac{16}{65}$.

分析 利用構(gòu)造思想,sin[(α+β)-α]=sinβ,由cos(α+β)=$\frac{5}{13}$,求出sin(α+β)的值即可求.

解答 解:由a∈(0,π),
$\frac{sin2α}{1+cos2α}=\frac{2sinαcosα}{2co{s}^{2}α}=\frac{sinα}{cosα}=\frac{4}{3}$>0,
∴$α∈(0,\frac{π}{2})$
∵sin2α+cos2α=1
解得:sinα=$\frac{4}{5}$,cosα=$\frac{3}{5}$
由cos(a+β)=$\frac{5}{13}$>0,
∵$α∈(0,\frac{π}{2})$,β∈(0,π)
∴(α+β)∈(0,$\frac{π}{2}$)
∴sin(a+β)=$\frac{12}{13}$
那么:sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$
故答案為$\frac{16}{65}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了同角三角函數(shù)關(guān)系式,兩角和與差的構(gòu)造思想.和計(jì)算能力.屬于中檔題.

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