定義：若一個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，則稱這個(gè)數(shù)列是另一個(gè)數(shù)列的子數(shù)列。已知是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．

（Ⅰ）若（是大于的正整數(shù)），求證：；

（Ⅱ）若（是某個(gè)正整數(shù)），求證：是整數(shù)，且數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列.

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題設(shè)得，，且．

由得，所以，

．

故等式成立．

（2）（ⅰ）證明為整數(shù)：

由得，即，

移項(xiàng)得．

因，，得，故為整數(shù)．

（ⅱ）證明數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)：

設(shè)是數(shù)列中的任一項(xiàng)，只要討論的情形．

令，即，

得．

因，當(dāng)時(shí)，，為或，則為或；

而，否則，矛盾．

當(dāng)時(shí)，為正整數(shù)，所以為正整數(shù)，從而．

故數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)．即數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義等積數(shù)列：在一個(gè)數(shù)列中，若每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積是同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)數(shù)叫做公積．已知等積數(shù)列{an}中，a1=2，公積為5，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義“和常數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做常數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的和常．已知數(shù)列{an}是和常數(shù)列，且a1=2，和常為5，那么a18的值為
3
3
；若n為偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為
5
2
n
5
2
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若一個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，則稱這個(gè)數(shù)列是另一個(gè)數(shù)列的子數(shù)列。已知是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．

（Ⅰ）若（是大于的正整數(shù)），求證：；

（Ⅱ）若（是某個(gè)正整數(shù)），求證：是整數(shù)，且數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分12分）

定義：若一個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，則稱這個(gè)數(shù)列是另一個(gè)數(shù)列的子數(shù)列。已知是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．

（Ⅰ）若（是大于的正整數(shù)），求證：；

（Ⅱ）若（是某個(gè)正整數(shù)），求證：是整數(shù)，且數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列.

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