Question

如圖，已知曲線與拋物線c₂：x²=2py（p＞0）的交點(diǎn)分別為A、B，曲線c₁和拋物線c₂在點(diǎn)A處的切線分別為l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分別為k₁、k₂．
（Ⅰ）當(dāng)為定值時(shí)，求證k₁•k₂為定值（與p無(wú)關(guān)），并求出這個(gè)定值；
（Ⅱ）若直線l₂與y軸的交點(diǎn)為D（0，-2），當(dāng)a²+b²取得最小值9時(shí)，求曲線c₁和c₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分別求l₁、l₂的斜率分別為k₁、k₂．進(jìn)而可求k₁•k₂，利用點(diǎn)A在曲線c₁和拋物線c₂上，結(jié)合為定值時(shí)可得結(jié)論．
（Ⅱ）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用l₂過(guò)點(diǎn)D（0，-2），則x²=4p，從而可求點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線c₁的方程得．從而利用基本不等式可求a²+b²最小值，注意等號(hào)成立的條件．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），
由得：
則，∴…2′
由x²=2py（p＞0）得，∴…4′
∴
又∵x²=2py，，∴．
∴為定值．…6′
（Ⅱ）如圖設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，則x∈（-a，0）．
由（Ⅰ）知：，則直線．
∵l₂過(guò)點(diǎn)D（0，-2），則x²=4p，即，∴點(diǎn)．…8′
將代入曲線c₁的方程得．
∴．
由重要不等式得．…10′
當(dāng)且僅當(dāng)“=”成立時(shí)，有，解得
∴，c₂：y=2x²．…13′
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，主要考查橢圓與拋物線的位置關(guān)系，考查利用基本不等式求最值．