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11.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn+1=12a2Sn+a1,S3=14.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=an-1,求a112+\frac{{a}_{2}}{_{2}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}

分析 (I)Sn+1=12a2Sn+a1,S3=14.可得n=1時(shí),a1+a2=12a2a1+a1,a2>0,解得a1.n=2時(shí),2+a2+a3=12a22+a2+2=14,解得a2,可得Sn+1=2Sn+2,利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(II)bn=an-1=2n-1,可得annn+1=2n2n12n+11=12n112n+11.利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.

解答 解:(I)∵Sn+1=12a2Sn+a1,S3=14.∴n=1時(shí),a1+a2=12a2a1+a1,a2>0,解得a1=2.
n=2時(shí),2+a2+a3=12a22+a2+2=14,解得a2=4,
∴Sn+1=2Sn+2,
n≥2時(shí),Sn=2Sn-1+2,可得:an+1=2an(n=1時(shí)也成立).
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項(xiàng)與公比都為2,
∴an=2n
(II)bn=an-1=2n-1,∴annn+1=2n2n12n+11=12n112n+11
a112+\frac{{a}_{2}}{_{2}_{3}}+…+annn+1=11221+12211231+…+12n112n+11=1-12n+11

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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