Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+

1

2

．
（1）求函數(shù)的最大值、最小值及取得最大值和最小值時(shí)自變量x的集合．
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過正弦函數(shù)的最值求函數(shù)的最大值、最小值及取得最大值和最小值時(shí)自變量x的集合．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間在求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）由f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+1．
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)+1，…（3分）
∴f(x)max=2，x∈{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}…（5分）
∴f(x)min=0，x∈{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}…（7分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

即x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值以及單調(diào)區(qū)間的求解，考查計(jì)算能力．