已知二項(xiàng)式(
x
+
1
2
4x
)n
的展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求n;
(2)求展開式中的一次項(xiàng);
(3)求展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和.
分析:(1)由題意二項(xiàng)式(
x
+
1
2
4x
)n
的展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,可得出
C
0
n
+
1
4
×
C
2
n
=2×
1
2
×
C
1
n
,解此方程求出n的值;
(2)由項(xiàng)的展開式Tr+1=
C
r
8
(
x
)8-r(
1
2
4x
)r
整理得Tr+1=
C
r
8
(
1
2
)rx4-
3r
4
,令x的指數(shù)為1,解出r的值,即可求得一次項(xiàng);
(3)二項(xiàng)式系數(shù)的和為C80+C81+C82+…+C88的和,計(jì)算出它的值即得.
解答:解:(1)前三項(xiàng)的系數(shù)為
C
0
n
,
1
2
C
1
n
1
4
C
2
n
,…(1分)
由題設(shè),得 
C
0
n
+
1
4
×
C
2
n
=2×
1
2
×
C
1
n
,…(2分)
即n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).           …(4分)
(2)Tr+1=
C
r
8
(
x
)8-r(
1
2
4x
)r
=
C
r
8
(
1
2
)rx4-
3r
4
,…(6分)
4-
3r
4
=1
,得r=4.…(8分)
所以展開式中的一次項(xiàng)為T5=
C
4
8
(
1
2
)4x=
35
8
x
.…(10分)
(3)∵C80+C81+C82+…+C88=28=256,
∴所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),考查了二項(xiàng)式的項(xiàng),等差數(shù)列的性質(zhì),二項(xiàng)式系數(shù)和的公式,解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì),二項(xiàng)式的性質(zhì)是一個(gè)非常重要的考點(diǎn),也是每年高考的必考點(diǎn),本題很典型,包括了二項(xiàng)式的主要性質(zhì),題后注意總結(jié)
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a=
6
π
2
cosxdx
,b為二項(xiàng)式(x-
3
6
)3
的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù),則復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)是( 。
A、-
1
2
+
3
2
i
B、-
1
2
-
3
2
i
C、
1
2
+
3
2
i
D、
1
2
-
3
2
i

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二項(xiàng)式(x+
1
2
)
n
的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求n的值;
(2)設(shè)(x+
1
2
)
n
=a0+a1x+a2x2+…+ 
anxn.①求a5的值;②求a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知n∈N*,且(x+
1
2
)n
展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求n;
(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(3)若(x+
1
2
)n=a0+a1(x-
1
2
)+a2(x-
1
2
)2
+…+an(x-
1
2
)n
,求a0+a1+…+an的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列所給命題中,正確的有
③④
③④
(寫出所有正確命題的序號(hào))
①任意的圓錐都存在兩條母線互相垂直;
②在△ABC中,若4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3
3
,則∠C=30°或150°;
③關(guān)于x的二項(xiàng)式(2x-
1
x
)4
的展開式中常數(shù)項(xiàng)是24;
④命題P:?x∈R,x2+1≥1;命題:q:?x∈R,x2-x+1≤0,則命題P∧(¬q)是真命題;
⑤已知函數(shù)f(x)=loga(-x2+logax)的定義域是(0,
1
2
)
,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[
1
32
1
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知(
x
+
1
2•
4x
n的展開式中僅有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中的有理項(xiàng)共有
 
項(xiàng),分別是第
 
項(xiàng).

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