【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在極坐標(biāo)系中,點(diǎn),,是線段的中點(diǎn),以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo),并求曲線的普通方程;
(2)設(shè)直線過點(diǎn)交曲線于兩點(diǎn),求的值.
【答案】(Ⅰ),. (Ⅱ)12.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),利用三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得普通方程,(2)先設(shè)直線參數(shù)方程,再代人圓方程,利用參數(shù)幾何意義求的值.
試題解析:((Ⅰ)將點(diǎn),的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),得和.
所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.
將消去參數(shù),得,即為曲線的普通方程.
(Ⅱ)解法一:直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù),為直線的傾斜角)
代入,整理得:.
設(shè)點(diǎn)、對應(yīng)的參數(shù)值分別為、.則,
.
解法二:過點(diǎn)作圓:的切線,切點(diǎn)為,
連接,因?yàn)辄c(diǎn)由平面幾何知識(shí)得:
,
所以 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)同時(shí)滿足:⑴對于定義域上的任意,恒有; ⑵對于定義域上的任意,當(dāng)時(shí),恒有,則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)中: ①,②, ③,④,能被稱為“理想函數(shù)”的有_____________(填相應(yīng)的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,,底面是梯形,AB∥CD,,AB=PD=4,CD=2,,M為CD的中點(diǎn),N為PB上一點(diǎn),且.
(1)若MN∥平面PAD;
(2)若直線AN與平面PBC所成角的正弦值為,求異面直線AD與直線CN所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】東莞市攝影協(xié)會(huì)準(zhǔn)備在2019年10月舉辦主題為“慶祖國70華誕——我們都是追夢人”攝影圖片展.通過平常人的鏡頭記錄國強(qiáng)民富的幸福生活,向祖國母親的生日獻(xiàn)禮,攝影協(xié)會(huì)收到了來自社會(huì)各界的大量作品,打算從眾多照片中選取100張照片展出,其參賽者年齡集中在之間,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,做出頻率分布直方圖如圖:
(1)求頻率分布直方圖中的值,并根據(jù)頻率分布直方圖,求這100位攝影者年齡的樣本平均數(shù)和中位數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)為了展示不同年齡作者眼中的祖國形象,攝影協(xié)會(huì)按照分層抽樣的方法,計(jì)劃從這100件照片中抽出20個(gè)最佳作品,并邀請相應(yīng)作者參加“講述照片背后的故事”座談會(huì).
①在答題卡上的統(tǒng)計(jì)表中填出每組相應(yīng)抽取的人數(shù):
年齡 | |||||
人數(shù) |
②若從年齡在的作者中選出2人把這些圖片和故事整理成冊,求這2人至少有一人的年齡在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的部分圖像如圖所示,將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)在中,角A,B,C滿足,且其外接圓的半徑R=2,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了參加某數(shù)學(xué)競賽,某高級(jí)中學(xué)對高二年級(jí)理科、文科兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了賽前模擬測試,成績(單位:分)記錄如下.
理科:79,81,81,79,94,92,85,89
文科:94,80,90,81,73,84,90,80
畫出理科、文科兩組同學(xué)成績的莖葉圖;
(2)計(jì)算理科、文科兩組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差,并從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析,哪組同學(xué)在此次模擬測試中發(fā)揮比較好;
(3)若在成績不低于90分的同學(xué)中隨機(jī)抽出3人進(jìn)行培訓(xùn),求抽出的3人中既有理科組同學(xué)又有文科組同學(xué)的概率.
(參考公式:樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差:
s2= [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中為樣本平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,四邊形
為矩形,平面平面,.
(I)求證:平面;
(II)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為,
試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),試問:是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖),并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè),一排中各個(gè)釘子恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球,當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí),由于碰到下一排鐵釘,它將以相等的可能性向左或向右落下,接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙,又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去,在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.
(Ⅰ)理論上,小球落入4號(hào)容器的概率是多少?
(Ⅱ)一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn),設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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