Question

4．已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，且sin（2x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，則sinx+cosx=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 由x的范圍，可得-$\frac{π}{4}$＜2x-$\frac{π}{4}$＜0，可得cos（2x-$\frac{π}{4}$）的值，再由sin2x=sin[（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，運(yùn)用兩角和的正弦公式，以及sinx+cosx=$\sqrt{（sinx+cosx）^{2}}$，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：0＜x＜$\frac{π}{2}$，且sin（2x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
可得-$\frac{π}{4}$＜2x-$\frac{π}{4}$＜0，
則cos（2x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
即有sin2x=sin[（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（2x-$\frac{π}{4}$）+cos（2x-$\frac{π}{4}$）]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$+$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）=$\frac{3}{5}$，
則sinx+cosx=$\sqrt{（sinx+cosx）^{2}}$=$\sqrt{1+sin2x}$=$\sqrt{1+\frac{3}{5}}$
=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的求值，考查兩角和的正弦公式和同角基本關(guān)系式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．