Question

漁場(chǎng)中魚(yú)群的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚(yú)群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留也適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚(yú)群的年增長(zhǎng)量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k＞0）．（空閑率為空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值）．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）求魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值；
（3）當(dāng)魚(yú)群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值值時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由魚(yú)群的年增長(zhǎng)量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k＞0）．我們根據(jù)題意求出空閑率，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）由（1）中給出的y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，我們使用配方法，易分析出魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值；
（3）由（2）的結(jié)論，我們可構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于k的含參數(shù)m的不等式，根據(jù)m的取值范圍，解不等式后即可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，空閑率為 1-

x

m

，
∴y=kx（1-

x

m

），定義域?yàn)椋?，m）；
（2）由（1）得
y=kx（1-

x

m

）=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

，
因?yàn)?x∈（0，m），k＞0；
所以當(dāng)x=

m

2

時(shí)，ymax=

km

4

（3）由題意有 0＜x+y＜m
即：0＜

m

2

+

km

4

＜m
因?yàn)閙＞0，解得-2＜k＜2
又k＞0
故k的取取值范圍為（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．