Question

【題目】已知棱長(zhǎng)為1的正方體，點(diǎn)是四邊形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)， 是中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：

①；②當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值；③與所成角的正切值為；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.

其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是（ ）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①利用線面平行，得到線線平行。②要求二面角的余弦值，轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角余弦值。③要求線線角，將其平移至一個(gè)三角形中，即可求解。④證明平面，則即為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，通過計(jì)算即可求解。

解：如圖所示，

①根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易得平面,又因?yàn)?/span>平面, 故，即，故①對(duì)。

②當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，,且,所以二面角的平面角為,連接,又，故所求二面角的余弦值為 .故②錯(cuò)。

③因?yàn)?/span>,所以與所成角即為與所成角，即為,連接,在等腰三角形中，為底邊中點(diǎn)，所以 ，所以與所成角的正切值為.故③對(duì)。

④點(diǎn)為 中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span> 所以平面, 即點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，故④對(duì)。

故選.