Question

2．已知函數(shù)$f（x）=2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-\sqrt{3}$cos2x+1，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（2）若對任意實數(shù)x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式或二倍角和兩角基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸方程求其對稱軸方程．最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，可得-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求解f（x）＜2+m和f（x）＞m-2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-\sqrt{3}$cos2x+1，
化簡得：f（x）=1+cos（2x-$\frac{π}{2}$）-$\sqrt{3}$cos2x+1=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+2=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$；
對稱軸方程；2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z）
解得：x=$\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}kπ$．
即函數(shù)f（x）的對稱軸方程；x=$\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}kπ$，（k∈Z）．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
對任意實數(shù)x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
只需f（x）_max＜2+m和f（x）_min＞m-2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為4．
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+m＞4}\\{m-2＜3}\end{array}\right.$，
解得：2＜m＜5．
故得實數(shù)m的取值范圍是（2，5）．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．