Question

15．若數(shù)列{a_n}滿足前n項(xiàng)之和S_n=2a_n-4（n∈N^*），b_n+1=a_n+2b_n且b₁=2．求：
（1）{b_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）{b_n} 的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-4，則a₁=4，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-（2a_n-1-4），則a_n=2a_n-1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，a_n=4×2ⁿ=2ⁿ⁺¹，b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n，$\frac{_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=1，數(shù)列{$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，b_n=n•2ⁿ（n∈N*）；
（2）由（1）可知：b_n=n•2ⁿ（n∈N*），采用“錯(cuò)位相減法”即可求得{b_n} 的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-4，則a₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-4，
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-（2a_n-1-4），即a_n=2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=4×2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
由b_n+1=a_n+2b_n，即b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n，
∴$\frac{_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=1，
又$\frac{_{1}}{2}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）•1=n，
∴b_n=n•2ⁿ（n∈N*）；
（2）由（1）可知：T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ
則2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減得：-T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*），
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴{b_n} 的前n項(xiàng)和T_n，T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．