【題目】已知函數(shù)g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)=
(1)求a、b的值;
(2)若不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)若f(|2x﹣1|)+k ﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)g(x)=ax2﹣2ax+b+1=a(x﹣1)2+1+b﹣a,

因?yàn)閍>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),

,

,

解得


(2)解:由已知可得f(x)=x+ ﹣2,

所以,不等式f(2x)﹣k2x≥0可化為 2x+ ﹣2≥k2x

可化為 1+( 2﹣2 ≥k,令t= ,則 k≤t2﹣2t+1.

因 x∈[﹣1,1],故 t∈[ ,2].故k≤t2﹣2t+1在t∈[ ,2]上恒成立.

記h(t)=t2﹣2t+1,因?yàn)?t∈[ ,2],故 h(t)min=h(1)=0,

所以k的取值范圍是(﹣∞,0]


(3)解:方程f(|2x﹣1|)+k ﹣3k=0可化為:

|2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,|2x﹣1|≠0,

令|2x﹣1|=t,則方程化為

t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),

∵方程f(|2k﹣1|)+k ﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

∴由t=|2x﹣1|的圖象知,

t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),有兩個(gè)根t1、t2

且0<t1<1<t2或0<t1<1,t2=1.

記h(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k),

,或

∴k>0.


【解析】(1)由函數(shù)g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a,a>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),故 ,由此解得a、b的值.(2)不等式可化為 2x+ ﹣2≥k2x , 故有 k≤t2﹣2t+1,t∈[ ,2],求出h(t)=t2﹣2t+1的最小值,從而求得k的取值范圍.(3)方程f(|2x﹣1|)+k ﹣3k=0|2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,(|2x﹣1|≠0),令|2x﹣1|=t,則t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),構(gòu)造函數(shù)h(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k),通過數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想即可求得k的范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,需要了解二次函數(shù)的零點(diǎn):(1)△>0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);(2)△=0,方程 有兩相等實(shí)根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);(3)△<0,方程 無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn)才能得出正確答案.

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廣告費(fèi)用x(萬元)

4

2

3

5

銷售額y(萬元)

49

26

39

54

根據(jù)上表可得回歸方程 = x+ 為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為(
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ωx+φ

0

π

x

Asin(ωx+φ)

0

5

﹣5

0


(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,填寫在相應(yīng)位置,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為( ,0),求θ的最小值.

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的充要條件;
與a=b是等價(jià)的;
⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分條件.
A.2
B.3
C.4
D.5

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