Question

19．已知F₁，F₂是橢圓$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$的兩個焦點，M是橢圓上的點，且MF₁⊥MF₂．
（1）求△MF₁F₂的周長；
（2）求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓定義，$|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=2a=6\sqrt{5}$，即可求△MF₁F₂的周長；
（2）利用${S_{△M{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}|{M{F_1}}|•|{M{F_2}}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_0}|$，即可求點M的坐標．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$中，長半軸$a=3\sqrt{5}$，焦距$2c=2\sqrt{45-20}=10$
（1）根據橢圓定義，$|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=2a=6\sqrt{5}$
所以，△MF₁F₂的周長為$|{{F_1}{F_2}}|+|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=6\sqrt{5}+10$…（5分）
（2）設點M坐標為（x₀，y₀）．
由MF₁⊥MF₂得，${|{M{F_1}}|^2}+{|{M{F_2}}|^2}={|{{F_1}{F_2}}|^2}={10^2}=100$
又${（|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|）^2}={（6\sqrt{5}）^2}=180$
∴$|{M{F_1}}|•|{M{F_2}}|=\frac{1}{2}{[{（|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|）^2}-（{|{M{F_1}}|^2}+{|{M{F_2}}|^2}）]^2}=40$
∵${S_{△M{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}|{M{F_1}}|•|{M{F_2}}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_0}|$，
∴|y₀|=4，則|x₀|=3
∴點M坐標為（3，4）或（3，-4）或（-3，4）或（-3，-4）…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查橢圓的定義，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．