在數(shù)列中，對(duì)于任意，等式：恒成立，其中常數(shù)．
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）如果關(guān)于的不等式的解集為，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1），；（2）只需求出即可；（3）。

解析試題分析：（Ⅰ）　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/64/a/1esee4.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，，
解得 ，．                3分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，   ①
得，           ②
將①，②兩式相減，得,
化簡(jiǎn)，得，其中．         5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d3/8/8sv5m.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，其中．           6分
因?yàn)?為常數(shù)，
所以數(shù)列為等比數(shù)列．            8分
（Ⅲ）　　由（Ⅱ）得，                 9分
所以
，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d3/8/8sv5m.png" style="vertical-align:middle;" />，所以不等式
可化簡(jiǎn)為，
∵，∴原不等式               11分
由題意知，不等式的解集為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以只要求 且即可，
解得．                 14分
考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列求和；數(shù)列的綜合應(yīng)用；恒成立問題；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。
點(diǎn)評(píng)：（1）解此題的關(guān)鍵是通過證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）解決恒成立問題常用的方法是分離參數(shù)法。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

對(duì)于任意的（不超過數(shù)列的項(xiàng)數(shù)），若數(shù)列的前項(xiàng)和等于該數(shù)列的前項(xiàng)之積，則稱該數(shù)列為型數(shù)列。
（1）若數(shù)列是首項(xiàng)的型數(shù)列，求的值；
（2）證明：任何項(xiàng)數(shù)不小于3的遞增的正整數(shù)列都不是型數(shù)列；
（3）若數(shù)列是型數(shù)列，且試求與的遞推關(guān)系，并證明對(duì)恒成立。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）令，．
①當(dāng)為何正整數(shù)值時(shí)，；
②若對(duì)一切正整數(shù)，總有，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，且；數(shù)列滿足.
（Ⅰ）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：對(duì)一切成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中，、、成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和為；
（3）求滿足的最大正整數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，n≥2時(shí)，求通項(xiàng)公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1，b1(a2－a1)＝b2.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝an bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的都有 ，
（Ⅰ）求數(shù)列的前三項(xiàng)；
（Ⅱ）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 ．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．

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