【題目】設(shè)函數(shù),.

,時,設(shè),求證:對任意的,;

時,若對任意,不等式恒成立.求實數(shù)的取值范圍.

【答案】詳見解析;.

【解析】

試題分析:首先將所證問題對任意的,轉(zhuǎn)化為,進而轉(zhuǎn)化為,然后令,并求出其導(dǎo)函數(shù)并判斷其函數(shù)的單調(diào)性,進而得出所證的結(jié)果;首先將問題對任意,不等式恒成立轉(zhuǎn)化為,然后構(gòu)造函數(shù),并求出導(dǎo)函數(shù)并進行分類討論:時和當時,并分別求出其導(dǎo)函數(shù)并判斷其單調(diào)性,最后結(jié)合已知條件即可得出所求的結(jié)果

試題解析:,時,,

所以等價于.

,則,可知函數(shù)上單調(diào)遞增,

所以,即,亦即,

所以.

時,

所以不等式等價于.

,,

.

時,,則函數(shù)上單調(diào)遞增,所以,

所以根據(jù)題意,知有,.

時,由,知函數(shù)上單調(diào)增減;

,知函數(shù)上單調(diào)遞增.

所以.

由條件知,,即.

設(shè),,

所以上單調(diào)遞減.

所以與條件矛盾.

綜上可知,實數(shù)的取值范圍為.

練習冊系列答案
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