【題目】某中學有位學生申請、、三所大學的自主招生.若每位學生只能申請其中一所大學,且申請其中任何一所大學是等可能的.
(1)求恰有人申請大學的概率;
(2)求被申請大學的個數(shù)的概率分布列與數(shù)學期望.
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【題目】(本小題滿分12分,(1)小問7分,(2)小問5分)
設函數(shù)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點處的切線方程;
(2)若在上為減函數(shù),求的取值范圍。
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【題目】已知函數(shù),則關(guān)于x的方程有以下結(jié)論,其中正確的結(jié)論為( )
A.當時,方程恒有實根
B.當時,方程在內(nèi)有兩個不等實根
C.當時,方程在內(nèi)最多有9個不等實根
D.若方程在內(nèi)的實根的個數(shù)為偶數(shù),則所有實根之和為
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【題目】已知坐標平面上動點與兩個定點, ,且.
(1)求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中軌跡為,過點的直線被所截得的線段長度為8,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù),直線為曲線的切線(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實數(shù)的值;
(2)用表示中的最小值,設函數(shù),若函數(shù)
為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知為圓上一動點,圓心關(guān)于軸的對稱點為,點分別是線段上的點,且.
(1)求點的軌跡方程;
(2)直線與點的軌跡只有一個公共點,且點在第二象限,過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于兩點,求面積的取值范圍.
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【題目】在正方體中,已知點在直線上運動,則下列四個命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當為中點時,二面角 的余弦值為;④若正方體的棱長為2,則的最小值為;其中說法正確的是____________(寫出所有說法正確的編號)
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【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖,將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料判斷是否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為"體育迷"與性別有關(guān).
性別 | 非體育迷 | 體育迷 | 總計 |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
總計 |
下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列期望和方差.
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【題目】近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月、兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了人,發(fā)現(xiàn)樣本中、兩種支付方式都不使用的有人,樣本中僅使用和僅使用的學生的支付金額分布情況如下:
支付金額(元) 支付方式 | 大于 | ||
僅使用 | 人 | 人 | 人 |
僅使用 | 人 | 人 | 人 |
(1)從樣本僅使用和僅使用的學生中各隨機抽取人,以表示這人中上個月支付金額大于元的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;
(2)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用的學生中,隨機抽查人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認為樣本僅使用的學生中本月支付金額大于元的人數(shù)有變化?說明理由.
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