Question

【題目】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為.令.

（1）若.

①當(dāng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②設(shè)，，試比較與的大��？并證明你的結(jié)論.

（2）問(wèn)集合中最多有多少個(gè)元素？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）①；②，證明見解析；（2）3個(gè)，證明見解析.

【解析】

（1）①利用數(shù)列基本量，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果；

②用作差法，結(jié)合代數(shù)運(yùn)算，即可證明和判斷；

（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有多少個(gè)解的問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而問(wèn)題得解.

（1）由，得，.

設(shè)數(shù)列公差為，數(shù)列公比為，由，故.

①因?yàn)?/span>，，，所以數(shù)列的公比，所以，.

②答：.證明如下：

因?yàn)?/span>，，，所以

.

所以.

（2）不妨設(shè)，，由.

令，，，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程

，①

最多有多少個(gè)解.

下面我們證明：當(dāng)時(shí)，方程①最多有2個(gè)解；時(shí)，方程②最多有3個(gè)解.

當(dāng)時(shí)，考慮函數(shù)，則，

如果，則為單調(diào)函數(shù)，故方程①最多只有一個(gè)解；

如果，且不妨設(shè)由得有唯一零點(diǎn)，

于是當(dāng)時(shí)，恒大于0或恒小于0，

當(dāng)時(shí)，恒小于0或恒大于0，

這樣在區(qū)間與上是單調(diào)函數(shù)，

故方程①最多有2個(gè)解.

當(dāng)時(shí)，如果.

如果為奇數(shù)，則方程①變?yōu)?/span>，

顯然方程最多只有一個(gè)解，即最多只有一個(gè)奇數(shù)滿足方程①.

如果為偶數(shù)，則方程①變?yōu)?/span>

，由的情形，上式最多有2個(gè)解，

即滿足①的偶數(shù)最多有2個(gè).

這樣，最多有3個(gè)正數(shù)滿足方程①.

對(duì)于，同理可以證明，方程①最多有3個(gè)解.

綜上所述，集合中的元素個(gè)數(shù)最多有3個(gè).

再由當(dāng)，，則，，，.

由此，可知集合中的元素個(gè)數(shù)最多有3個(gè).