Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝xex－x－ax2.

(1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)上單調(diào)遞減；

（2）(－∞，1]．

【解析】

(1)當(dāng)a＝時(shí)，函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－x2，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由函數(shù)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的取值范圍，即可求解．

(1)當(dāng)a＝時(shí)，函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－x2，

則f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)，

令f′(x)＝0，則x＝－1或0，

當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0；

當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)<0；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)上單調(diào)遞減．

(2)由題意，函數(shù)f(x)＝x(ex－1－ax)，

令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a，

若a≤1，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)，

而g(0)＝0，從而當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≥0，即f(x)≥0，

若a>1，則當(dāng)x∈(0，ln a)時(shí)，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)＝0，

從而當(dāng)x∈(0，ln a)時(shí)，g(x)<0，即f(x)<0，不符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1]．