【題目】已知函數(shù).
(1)若f(-1)=f(1),求a,并直接寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)a≥時,是否存在實數(shù)x,使得=一?若存在,試確定這樣的實數(shù)x的個數(shù);若不存在,請說明理由.
【答案】(1),單調(diào)增區(qū)間為,;(2)2個.
【解析】
(1)首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,利用,得到所滿足的等量關(guān)系式,求得的值,從而得到函數(shù)的解析式,進而求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)根據(jù)條件,結(jié)合函數(shù)解析式,分類討論,分析性質(zhì),
(1)由,得,解得.
此時,函數(shù)
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,.
(2)顯然,不滿足;
若,則,由,得,
化簡,得,無解:
若,則,由,得,
化簡,得.
令,.
當(dāng)時,;
下面證明函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).
任取,且,
則
由于
,
所以,即,故在上是單調(diào)增函數(shù)。
因為,,
所以,又函數(shù)的圖象不間斷,所以函數(shù)在上有且只有一個零點.
即當(dāng)時,有且只有一個實數(shù)x滿足.
因為當(dāng)滿足時,實數(shù)也一定滿足,即滿足的根成對出現(xiàn)(互為相反數(shù));
所以,所有滿足的實數(shù)x的個數(shù)為2.
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【題目】已知三點,,,曲線上任意一點滿足.
(1)求的方程;
(2)動點 在曲線上,是曲線在處的切線.問:是否存在定點使得與都相交,交點分別為,且與的面積之比為常數(shù)?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣mx(m∈R). (Ⅰ)當(dāng)m=0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)b>a>0時,總有 >1成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,因其經(jīng)濟又環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用,如左下圖.假定在水流量穩(wěn)定的情況下,半徑為3m的筒車上的每一個盛水桶都按逆時針方向作角速度為rad/min的勻速圓周運動,平面示意圖如右下圖,己知筒車中心O到水面BC的距離為2m,初始時刻其中一個盛水筒位于點P0處,且∠P0OA=(OA//BC),則8min后該盛水筒到水面的距離為____m.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC–A1B1C1中,AB=BC,D為AC的中點,O為四邊形B1C1CB的對角線的交點,AC⊥BC1.求證:
(1)OD∥平面A1ABB1;
(2)平面A1C1CA⊥平面BC1D.
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【題目】某市從高二年級隨機選取1000名學(xué)生,統(tǒng)計他們選修物理、化學(xué)、生物、政治、歷史和地理六門課程(前3門為理科課程,后3門為文科課程)的情況,得到如下統(tǒng)計表,其中“√”表示選課,“空白”表示未選.
科目 方案 人數(shù) | 物理 | 化學(xué) | 生物 | 政治 | 歷史 | 地理 | |
一 | 220 | √ | √ | √ | |||
二 | 200 | √ | √ | √ | |||
三 | 180 | √ | √ | √ | |||
四 | 175 | √ | √ | √ | |||
五 | 135 | √ | √ | √ | |||
六 | 90 | √ | √ | √ |
(Ⅰ)在這1000名學(xué)生中,從選修物理的學(xué)生中隨機選取1人,求該學(xué)生選修政治的概率;
(Ⅱ)在這1000名學(xué)生中,從選擇方案一、二、三的學(xué)生中各選取2名學(xué)生,如果在這6名學(xué)生中隨機選取2名,求這2名學(xué)生除選修物理以外另外兩門選課中有相同科目的概率;
(Ⅲ)利用表中數(shù)據(jù)估計該市選課偏文(即選修至少兩門文科課程)的學(xué)生人數(shù)多還是偏理(即選修至少兩門理科課程)的學(xué)生人數(shù)多,并說明理由.
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【題目】“三個內(nèi)角的度數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列”是“中有一個內(nèi)角為”的( 。
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
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【題目】已知函數(shù)且
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的圖像在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
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【題目】某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽,為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)(得分取正整數(shù),滿分為)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,已知得分在[50,60),[90,100]的頻數(shù)分別為8,2.
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(2)估計本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù);
(3)在選取的樣本中,從競賽成績在分以上(含分)的學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生,求所抽取的名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率.
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