如圖，已知橢圓C：數(shù)學公式的左右焦點分別為F1、F2，點B為橢圓與y軸的正半軸的交點，點P在第一象限內且在橢圓上，且PF2與x軸垂直，數(shù)學公式．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點B關于直線l：y=-x+n的對稱點E（異于點B）在橢圓C上，求n的值．

解：（1）根據(jù)橢圓方程得到F1（-，0），P（，m），
把P的坐標代入橢圓方程得：m2=，
則•=2•+m2=2（a2-2）+=5，解得a2=4，
所以橢圓C方程為：，
（2）由（1）求出的橢圓方程得：B（0，）
BE⊥l，得BE方程的斜率為1，則直線BE的方程為，
由得x=0，或x=-．
，∴BE中點為，
把BE的中點坐標代入y=-x+n得：=+n，解得：n=-．
分析：（1）根據(jù)橢圓的方程和PF2與x軸垂直表示出F1和P的坐標，利用F1和P的坐標及原點O的坐標分別表示和，然后利用平面向量的數(shù)量積的運算法則表示出，讓其值等于5，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，代入橢圓方程即可；
（2）根據(jù)橢圓方程求出B的坐標，設E和B關于直線l對稱，則直線BE的斜率與直線l的斜率乘積為-1，根據(jù)直線l的斜率求出直線BE的斜率，根據(jù)B的坐標和求出的斜率寫出直線BE的方程，把直線BE的方程與橢圓方程聯(lián)立即可求出直線BE與橢圓的另一交點E的坐標，根據(jù)B和E的坐標，利用中點坐標公式求出BE中點的坐標，把中點坐標代入直線l的方程，即可求出n的值．
點評：此題考查學生掌握橢圓的簡單性質，會求橢圓的標準方程，厲害運用平面向量的數(shù)量積的運算法則及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•臨沂二模）
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為
3
2
，點A是橢圓上任一點，△AF1F2的周長為4+2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點，記
MQ
=λ
QN
，若在線段MN上取一點R，使得
MR
=-λ
RN
，則當直線l轉動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東臨沂高三5月高考模擬文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點分別為，離心率為，點A是橢圓上任一點，的周長為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點任作一動直線l交橢圓C于兩點，記，若在線段上取一點R，使得，則當直線l轉動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程.

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇五校高三下學期期初教學質量調研數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點M、N.

（1）設直線AP、PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；

（2）求線段MN長的最小值；

（3）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？請證明你的結論．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年遼寧省本溪一中高三（上）第二次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：的離心率為，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年四川省樂山市高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：的長軸AB長為4，離心率，O為坐標原點，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明Q點在以AB為直徑的圓O上；
（3）試判斷直線QN與圓O的位置關系．

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