將一塊直角三角板ABO（45o角）置于直角坐標(biāo)系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中部分受損壞（△POB），要把損壞的部分鋸掉，可用經(jīng)過P的任意一直線MN將其鋸成△AMN，問如何確定直線MN的斜率，才能使鋸成的△AMN的面積最大？
【答案】分析：先由圖求得A、B點的坐標(biāo)，進而表示直線MN的方程，從而求得M、N的坐標(biāo)，再求得|AN|和點M到直線AN的距離，表示出三角形的面積，再利用其函數(shù)的單調(diào)性研究．
解答：解：由圖知A（1，1），B（1，0），
設(shè)直線MN的斜率為k，直線MN與△POB不能相交，所以
直線MN的方程為，
令x=1得，∴
令y=x得，∴
∴，
點M到直線AN的距離為
∴
∵∴
而函數(shù)在上是增函數(shù)，
故當(dāng)∴S△AMN取得最大值．
點評：本題主要考查直線方程及直線的交點，三角形面積及最值的研究方法．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將一塊直角三角板ABO（45o角）置于直角坐標(biāo)系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點P(
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)是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中部分受損壞（△POB），要把損壞的部分鋸掉，可用經(jīng)過P的任意一直線MN將其鋸成△AMN，問如何確定直線MN的斜率，才能使鋸成的△AMN的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，將一塊直角三角形板ABO放置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=BO=2，AB⊥OB．點P（1，
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）是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中陰影部分（即△POB）受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN，設(shè)直線MN的斜率k．
（Ⅰ）試用k表示△AMN的面積S，并指出k的取值范圍；
（Ⅱ）試求S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將一塊直角三角板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中（如圖所示）.已知AB=OB=1，AB⊥OB，點P 是三角板內(nèi)一點.現(xiàn)因三角板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN.問應(yīng)如何確定直線MN的斜率，可使鋸成的△AMN的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：《直線與方程》2013年山西省高考數(shù)學(xué)一輪單元復(fù)習(xí)（解析版） 題型：解答題

將一塊直角三角板ABO（45o角）置于直角坐標(biāo)系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中部分受損壞（△POB），要把損壞的部分鋸掉，可用經(jīng)過P的任意一直線MN將其鋸成△AMN，問如何確定直線MN的斜率，才能使鋸成的△AMN的面積最大？

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