Question

甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是

3

5

，乙只能答對其中的5道題，規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，得分低于o分時記為0分（即最低為0分），至少得15分才能入選．
（1）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率．

Answer 1

考點：互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）確定乙答題所得分數(shù)的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）由已知甲、乙至少答對2題才能入選，求出甲、乙入選的概率，利用對立事件，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）乙答題所得分數(shù)為X，則X的可能取值為0，15，30．
P（X=0）=

C 0 5 C 3 5

C 3 10

+

C 1 5 • C 2 5

C 3 10

=

1

2

P（X=15）=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

P（X=30）=

C 3 5 C 0 5

C 3 10

=

1

12

乙得分的分布列如下

X	0	15	30
P	1 2	5 12	1 12

EX=0×

1

2

+15×

5

12

+30×

1

12

=

35

4

（2）由已知甲、乙至少答對2題才能入選，記甲入選為事件A，乙入選為事件B，
則P（A）=

C

2 3

(

3

5

)2•(

2

5

)+

C

3 3

•(

3

5

)3=

54

125

+

27

125

=

81

125

，P（

.

A

）=1-

81

125

=

44

125

由（1）知：P（B）=P（X=15）+P（X=30）=

1

2

，P（

.

B

）=1-

1

2

=

1

2

，
所求概率為P=1-P（

.

AB

）=

103

125

點評：本題考查概率的計算，考查互斥事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值，計算其概率是關(guān)鍵．