Question

如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3，2

3

)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
（2）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（1）由圖得到A及周期，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，將M的橫坐標(biāo)代入求出M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式求出|MP|
（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折線段賽道MNP的長(zhǎng)，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最大值．

解答：解：（1）因?yàn)閳D象的最高點(diǎn)為S(3，2

3

)
所以A=2

3

，
由圖知y=Asin?x的周期為T=12，又T=

2π

?

，所以ω=

π

6

，所以y=2

3

sin

π

6

x
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=

(8-4)2+32

=5
（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）
由正弦定理得

5

sin120°

=

NP

sinθ

=

MN

sin(60°-θ)

，
所以NP=

10 3

3

sinθ，MN=

10 3

3

sin(60°-θ)
設(shè)使折線段賽道MNP為L(zhǎng)則
L=

10 3

3

sin(60°-θ)+

10 3

3

sinθ
=

10 3

3

[sin(60°-θ)+sinθ]
=

10 3

3

sin(θ+60°)
所以L的最大值是

10 3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查有圖象得三角函數(shù)的性質(zhì)，由性質(zhì)求函數(shù)的解析式、考查兩點(diǎn)距離公式、考查三角形的正弦定理、考查三角函數(shù)的有界性．