精英家教網(wǎng)（A題）如圖，在橢圓
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，B，D分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)弧上的任意一點(diǎn)，直線AF1交y軸于點(diǎn)E，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范圍．
分析：（1）由F1，F(xiàn)2三等分線段BD，得|F1F2|=
1
3
|BD|，即2c=
1
3
•2a①，又a2=b2+c2②，b2=8③，聯(lián)立方程組即可求得a，c值，從而可得F1坐標(biāo)為（-1，0），由四邊形EBCF2為平行四邊形及F1為BF2的中點(diǎn)，知F1為CE中點(diǎn)，即C、E關(guān)于點(diǎn)F1對(duì)稱，設(shè)C（x0，y0），則E（-2-x0，-y0），根據(jù)C在橢圓上及E在y軸上可得關(guān)于x0的方程組，由此可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）易知直線AC存在斜率，設(shè)直線AC：y=k（x+1），A（x1，y1），C（x2，y2），由
x2
9
+
y2
8
=1
y=k(x+1)
，得（8+9k2）x2+18k2x+9（k2-8）=0，x1+x2=-
18k2
8+9k2
，x1x2=
9(k2-8)
8+9k2
，
則m+n=
S△AF1O
S△AEO
+
S△CF1O
S△CEO
=
1
2
|AF1|h
1
2
|AE|h
+
1
2
|CF1|h
1
2
|CE|h
=
|AF1|
|AE|
+
|CF1|
|CE|
，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理可把m+n表示為關(guān)于k的函數(shù)，由點(diǎn)A在第一象限可求得k的取值范圍，根據(jù)k的范圍即可求得m+n的取值范圍；
解答：解：（1）因?yàn)镕1，F(xiàn)2三等分線段BD，所以|F1F2|=
1
3
|BD|，即2c=
1
3
•2a，所以a=3c①，
又a2=b2+c2②，b2=8③，聯(lián)立①②③解得a=3，c=1，
所以B（-3，0），F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)1為BF2的中點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅蜤BCF2為平行四邊形，所以C，E關(guān)于F1（-1，0）對(duì)稱，
設(shè)C（x0，y0），則E（-2-x0，-y0），
因?yàn)镋在y軸上，所以-2-x0=0，解得x0=-2，
又因?yàn)辄c(diǎn)C（x0，y0）在橢圓上，所以
x02
9
+
y02
8
=1，
又x0=-2，所以
4
9
+
y02
8
=1，解得y0=±
2
10
3
，依題意y0=-
2
10
3
，
因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-
2
10
3
）；
（2）依題意直線AC的斜率存在，所以可設(shè)直線AC：y=k（x+1），A（x1，y1），C（x2，y2），
由
x2
9
+
y2
8
=1
y=k(x+1)
，得（8+9k2）x2+18k2x+9（k2-8）=0，x1+x2=-
18k2
8+9k2
，x1x2=
9(k2-8)
8+9k2
，
所以m=
S△AF1O
S△AEO
=
1
2
|AF1|h
1
2
|AE|h
=
|AF1|
|AE|
=
1+k2
•|-1-x1|
1+k2
•|0-x1|
=
|x1+1|
|x1|
=
x1+1
x1
，其中h為點(diǎn)O到AE的距離，
n=
S△CF1O
S△CEO
=
1
2
|CF1|h
1
2
|CE|h
=
|CF1|
|CE|
=
1+k2•
|-1-x2|
1+k2
•|0-x2|
=
|1+x2|
|x2|
=
-1-x2
-x2
=
1+x2
x2
，
m+n=
x1+1
x1
+
1+x2
x2
=
x2(1+x1)+x1(1+x2)
x1x2
=
2x1x2+x1+x2
x1x2
，
=2+
x1+x2
x1x2
=2+
-18k2
8+9k2
9(k2-8)
8+9k2
=2+
-2k2
k2-8
=2-
2(k2-8)+16
k2-8
=-
16
k2-8
．
因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以0＜k＜2
2
，即0＜k2＜8，
令t=-
16
k2-8
，則k2=8-
16
t
，所以0＜8-
16
t
＜8，即0＜
1
t
＜
1
2
，解得t＞2，
故m+n的取值范圍是t＞2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查函數(shù)思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，解決（2）問(wèn)的關(guān)鍵是把m+n表示為關(guān)于直線AC斜率k的函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年甘肅省高三第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖，在等邊中，O為邊的中點(diǎn)，，D、E為的高線上的點(diǎn)，且，.若以A,B為焦點(diǎn)，O為中心的橢圓過(guò)點(diǎn)D，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，記橢圓為M

（1）求橢圓M的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)E的直線與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)P,Q，點(diǎn)P在點(diǎn)E, Q之

間,且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆江蘇省高二第二次月考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分16分) 如圖，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別

為A、B，以A為圓心，OA為半徑的圓與以B為圓心，OB為半徑的圓相交于點(diǎn)O、P．

 

 

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2) 若點(diǎn)P在直線上，求橢圓的離心率；

(3) 在（2）的條件下，設(shè)M是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)N（0，1）到橢圓上點(diǎn)的最近距離為3，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（A題）如圖，在橢圓數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1（a＞0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，B，D分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)弧上的任意一點(diǎn)，直線AF1交y軸于點(diǎn)E，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)m=數(shù)學(xué)公式，n=數(shù)學(xué)公式，求m+n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(本小題滿分15分)

如圖，在直角坐標(biāo)系中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓G的離心率為，左頂點(diǎn)A（-4,0），圓：是橢圓G的內(nèi)接的內(nèi)切圓.

(Ⅰ) 求橢圓G的方程；

(Ⅱ) 求圓的半徑r；

（Ⅲ）過(guò)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F兩點(diǎn)，判斷直線EF與圓的位置關(guān)系，并證明.

 
 

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